KitTool - حل معادله درجه ۱ و ۲

ابزار ریاضی · محاسبات آنلاین

حل معادله درجه ۱ و ۲ (با دلتا و ریشه ها)

معادله های درجه یک (خطی) و درجه دو (درجه دوم) از پایه ای ترین مباحث جبر و ریاضیِ دبیرستان و کنکورند. این ابزار ریشه های معادله را همراه با مقدار دلتا (Δ) و تحلیل حالت ها به شما می دهد.

در معادلهٔ درجه دو، علامتِ دلتا سرنوشت ریشه ها را مشخص می کند: اگر Δ مثبت باشد دو ریشهٔ حقیقی، اگر صفر باشد یک ریشهٔ مضاعف و اگر منفی باشد ریشه های مختلط داریم. محاسبهٔ دستیِ همهٔ این حالت ها زمان بر و خطاپذیر است.

کافی است ضریب های a، b و c را وارد کنید (برای درجه یک فقط a و b) تا ریشه ها بی درنگ محاسبه شوند.

فرمول ها

درجه یکax + b = ۰ ⟹ x = −b ÷ a

درجه دوax² + bx + c = ۰

دلتاΔ = b² − ۴ac

ریشه ها (Δ ≥ ۰)x = (−b ± √Δ) ÷ ۲a

Δ < ۰ریشه های مختلط (مزدوج)

با این ابزار می توانید

ریشهٔ معادلهٔ خطی ax+b=0 را در یک مرحله بگیرید.
مقدار دلتا و هر دو ریشهٔ معادلهٔ درجه دو را ببینید.
حالت های خاص (بی نهایت جواب یا بدون جواب) را تشخیص دهید.
ریشه های مختلط را هنگام منفی شدن دلتا نمایش دهید.

مثال کاربردی

معادلهٔ x² − ۳x + ۲ = ۰ را در نظر بگیرید (a=۱، b=−۳، c=۲). دلتا = (−۳)² − ۴×۱×۲ = ۹ − ۸ = ۱ و چون مثبت است، دو ریشهٔ حقیقی داریم: x = (۳ ± ۱) ÷ ۲، یعنی x₁ = ۲ و x₂ = ۱.

حالت های دلتا و رابطهٔ ریشه ها

Δ > ۰دو ریشهٔ حقیقیِ متمایز

Δ = ۰یک ریشهٔ حقیقیِ مضاعف: x = −b ÷ ۲a

Δ < ۰دو ریشهٔ مختلطِ مزدوج (بدون ریشهٔ حقیقی)

مجموع ریشه هاx₁ + x₂ = −b ÷ a

حاصل ضرب ریشه هاx₁ × x₂ = c ÷ a

رابطهٔ ریشه ها (روابط ویت)

بدون حل کامل معادله هم می توان مجموع و حاصل ضرب ریشه ها را دانست: در ax²+bx+c=۰ همیشه مجموع دو ریشه برابر −b/a و حاصل ضربشان برابر c/a است. برای مثال در x²−۳x+۲=۰ مجموع ریشه ها ۳ و حاصل ضربشان ۲ است که با ریشه های ۱ و ۲ سازگار است. این روابط برای کنترل درستی پاسخ بسیار مفیدند.

سوالات پرتکرار

دلتا (Δ) چیست؟

دلتا یا مبیّن، عبارت b² − ۴ac در معادلهٔ درجه دو است که تعداد و نوع ریشه ها را مشخص می کند.

اگر دلتا منفی شود چه می شود؟

وقتی Δ < ۰ باشد، معادله ریشهٔ حقیقی ندارد و دو ریشهٔ مختلطِ مزدوج دارد؛ با فعال کردن گزینهٔ ریشهٔ مختلط نمایش داده می شوند.

ریشهٔ مضاعف چیست؟

وقتی Δ = ۰ باشد، معادله فقط یک ریشهٔ حقیقی دارد که دو بار تکرار می شود (ریشهٔ مضاعف) و برابر x = −b ÷ ۲a است.

معادلهٔ درجه یک چطور حل می شود؟

در ax + b = ۰، جواب برابر x = −b ÷ a است؛ اگر a = ۰ باشد یا معادله بی نهایت جواب دارد یا بدون جواب است.

فرمول ریشه های درجه دو چیست؟

x = (−b ± √Δ) ÷ ۲a که در آن Δ = b² − ۴ac است.

آیا این ابزار معادلهٔ درجه سه را هم حل می کند؟

خیر؛ این ابزار مخصوص معادلهٔ درجه یک و دو است. معادلهٔ درجه سه (ax³+…) به روش های دیگری مانند فرمول کاردانو یا روش های عددی حل می شود.

ابزارهای مرتبط

محاسبات پایه محیط و مساحت ب.م.م و ک.م.م محاسبه میانگین